17) 상대론적 질량과 운동량
지금까지의 고전 역학에 의하면, 물체에 에너지를 가하면 속도가 증가하고, 운동량 혹은 운동 에너지가 증가한다.
그러나 앞의 논의를 통해 물체의 속도의 크기는 결코 광속을 넘을 수 없기 때문에 어떤 형태라도 질량이 증가할 수밖에 없다고 생각할 수 있다.
이것을 상대론적으로 유도한 결과가 상대론적 질량,
$$m = \gamma m_0$$ 이다.
이 때 $ m_0 $는 관성 질량이며 상대론에서는 정지 질량 (Rest Mass)이된다.
물체의 속도의 크기가 광속에 비해 매우 작 으면 고전적인 질량으로 환원됩니다.
상기 식의 양변에 물체의 속도 $v$를 곱하면 상대론적 운동량이 얻어진다.
$$p = mv = \gamma m_0 v$$
수평 방향으로 두 객체 사이의 충돌을 통해 이것을 유도합시다.
위의 그림에서 볼 수 있듯이, 동일한 질량 $m$를 가진 두 개의 객체 $A$와 $B$는 $S$ 좌표계를 기준으로 서로 반대 방향으로 속도 $v$를 가지고 움직입니다.
이때 두 물체가 완전히 비탄성적으로 충돌1하고 질량 $2m$를 가진 하나의 물체 $C$가 되었다고 하자. $A$와 $B$가 충돌 이외의 영향을 받지 않았다고 가정하면, 운동량의 보존으로 인해 $S$의 관찰자는 $C$가 중단되었다고 말할 것이다.
같은 사건을 이번에는 $S$를 기준으로 $+x$방향으로 $v$의 속도로 움직이는 $S’$좌표계에서 보자. $S’$의 관찰자는 $A$는 정지하고 있고, $B$는 $-x$의 방향으로 속도 $v’$를 가지고 운동하고 있다고 말한다.
또 $S$에서 $C$는 정지하고 있기 때문에, $S’$의 관찰자는 $C$는 $-v$의 속도를 가지고 움직이고 있다고 말할 것이다.
$v’$를 구하기 위해 로렌츠 속도 변환 공식을 사용하면,
$$v’ = \frac{v – V}{1 – \frac{v \cdot V}{c^2}} = \frac{-2v}{1 + \frac{v^2}{c^2 }}$$ 이다.
그럼 S’에서 운동량 보존법칙을 적용합시다.
충돌전계의 운동량은
$$p = mv’ = m(\frac{-2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}})$$ 에서 충돌 후 운동량은
$$p = -2mv$$ 이다.
즉, 고전적 운동량을 그대로 적용하면 운동량 보존법칙이 성립하지 않게 된다.
그러면 두 가지 옵션이 있습니다.
상대론은 운동량 보존 법칙을 포기하고 운동량 보존 법칙을 만족시키기 위해 상대적으로 운동량을 새롭게 정의하는 것이다.
고전 역학에서는 운동량 보존의 법칙이 모든 좌표계에 적용되는 보편적인 법칙으로 알려져 있기 때문에 새로운 운동량을 정의하는 것이 합리적입니다.
운동량은 질량과 속도의 곱으로 정의되며 속도는 이미 위에서 설명한 대로 로렌츠 변환으로 처리되었으므로 질량을 새로 정의해야 합니다.
첫 번째 상황에서는 오브젝트의 질량이 충돌의 유무와 좌표계의 변환에 관계없이 보존되어 있지만, 이번에는 충돌 전후와 좌표계의 변환이 모두 변한다고 합시다.
즉, $S$의 관찰자는 $C$의 질량이 $M_0$가 되고, $S’$의 관찰자는 $A$는 $m_0$, $B$는 $m’$, 그리고 $C$ 는 $ M $의 질량을 가지고 관측했다.
$S$ 기준 운동량 보존의 법칙을 고려하자.충돌 전후의 시스템의 운동량은 각각
$$p = mv + m(-v) = 0 \\ p = M_0 \cdot 0 = 0$$
로 운동량 보존법칙이 성립한다.
$S’$기준의 운동량 보존법칙을 조사하기 전에 충돌 전후의 질량이 보존된다고 생각되기 때문에
$$M = m_0 + m’$$ 입니다.
충돌 전후의 시스템의 운동량은 각각
$$p = m_0 \cdot 0 + m’v’ = m’v’ \\ p = M(-v) = -Mv$$ 이므로 운동량 보존법칙에 따라
$$m’v’ = Mv = (m_0 + m’)v \\ \Longrightarrow v = \frac{m’}{m_0 + m’}v’$$ 가 성립한다.
먼저 구했다
$$v’ = \frac{v – V}{1 – \frac{v \cdot V}{c^2}} = \frac{-2v}{1 + \frac{v^2}{c^2 }}$$를 기억하십시오. 이것을 v의 2차식으로 나타내고, v를 구하면 다음과 같이 됩니다.
$$\frac{v’}{c^2}v^2 + 2v + v’ = 0 \\ \Longrightarrow v = \frac{\sqrt{1 – \frac{v’^2}{c^ 2} }v’}{\sqrt{1 – \frac{v’^2}{c^2}} \pm 1} = \frac{\gamma ‘ v’}{\gamma ‘ \pm 1} = \ frac{ \gamma’ v’}{\gamma ‘ + 1}$$ 이때 $v < v'$ 이므로 - 부호는 버린다.
이 식에 앞서 운동량 보존법칙에서 구한 관계식을 연립하면 다음과 같다.
$$v = \frac{\gamma ‘v’}{\gamma’ + 1} = \frac{m’}{m_0 + m’}v’ \\ \Longrightarrow \gamma’ (m_0 + m’) = m ‘ (\gamma ‘ +1) \\ \Longrightarrow m = \gamma ‘ m_0$$ 즉 $m_0$ 의 질량을 가지고 정지하고 있는 물체는 $v’$ 크기의 속도로 운동하면 $ 에서 질량 이것이 증가하는 것을 볼 수 있습니다.
질량 $m$ 로 정지하고 있는 물체가 $v$ 의 크기의 속도로 움직이는 경우는, 다음과 같이 변경할 수 있습니다.
$$m = \gamma m_0$$ 이것은 도입부에서 본 식과 같습니다.
이것을 “상대 론적 질량”이라고 부르며 상대 론적 운동량은
$$p = mv = \gamma m_0 v$$ 로 정의된다.
이에 따라 상대론적 질량과 운동량을 유도할 수 있다.
아인슈타인은 계속 질량이 바뀌는 것을 좋아하지 않았다.
따라서 상대 론적 질량에 대한 언급은 없었고, 변화는 운동량뿐이며 상대 론적 운동량이 속도에 의존하는 방법이 뉴턴 역학과 다르다고 말했다.
그러나, 상대적으로 질량이 물체의 속도와 함께 증가하는 현상은 몇몇 실험에 의해 이미 관측된 사실이며, 질량도 로렌츠 변환이 일어날 때 속도에 따라 변화한다고 말할 수 있다.
1 반발 계수가 0의 충돌로, 충돌 후에 2개의 물체가 튀어나오지 않고 얽히는 충돌 상황.