(알고리즘) 다이스트라 최단 경로 알고리즘

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목적:

다이크스트리아 알고리즘의 용도 사용법을 배우기 위해

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📘 “이것이 취업을 위한 코딩 테스트다” 책을 통해 공부했습니다.

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인기글

(최단 경로 케이스)

  1. 한 정점에서 다른 정점까지의 최단 경로
  2. 한 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로 🥇
  3. 모든 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로

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이 기사에서는 다인스트리아 알고리즘으로 해결

일정점에서 다른 모든 정점가다 최단 경로를 찾아보자.

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다인스토리아 알고리즘에서

한 정점에서 다른 정점까지의 최단 경로를 결정할 때

그리디한 방법로 결정합니다.

(각 상황에서 가장 비용이 낮은 노드를 선택하는 프로세스를 반복하기 때문입니다)

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위의 그래프를 보면 시작점이 1 일 때 연결 노드의

가중치는 1,2,5명임을 알 수 있습니다.

이때, 그리디한 방법으로 간선의 가중치가 가장 낮은 1->4 경로를 선택해 갑니다.

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(다인스트리아 알고리즘의 두 가지 방법)

1. 최단 거리가 가장 짧은 노드 선형 탐색하는 방법 O(V^2)

⚠️1초에 약 2500만회 정도 연산하는 Python그럼

노드 수가 5000 이상되면 선형 탐색으로는 해결할 수 없습니다.

.

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2. 우선순위 큐의 최소 힙를 사용하여 결정하는 방법 O(logN) 🥇

🔔 노드 수가 5000개 이상인 경우

우선순위 큐를 사용하여 시간의 복잡성을 줄일 수 있습니다.

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(다인스트리아 선형 탐색 프로세스)

  1. 출발 노드 설정을 설정합니다.

  2. 최단 거리 테이블을 설정합니다(이때 초기값은 1e9 값으로 설정합니다.

    )
  3. 방문하지 않은 노드 중 가장 짧은 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.

  4. 해당 노드를 통해 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 업데이트합니다.

  5. 3번, 4번의 순서를 반복합니다.

(구현 코드)

import sys
input = sys.stdin.readline
INF  = 10**9 #무한을 의미하는 값으로 10억 설정

#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기\
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = (() for i in range(n+1))
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = (False) * (n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance =(INF) * (n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기:
for _ in range(m):
  a,b,c = map(int,input().split())
  #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미.
  graph(a).append((b,c))

#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1,n+1):
    if distance(i) < min_value and not visited(i):
      min_value = distance(i)
      index = i
  return index

def dijkstra(start):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance(start) = 0
  visited(start) = True
  for j in graph(start):
    distance(j(0)) =j(1)
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n-1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
    now = get_smallest_node()
    visited(now) = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph(now):
      cost =distance(now) + j(1)
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance(j(0)):
        distance(j(0)) = cost

#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
  #도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
  if distance(i) == INF:
    print("INF")
  #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance(i))

(최소 힙을 활용한 다이크스트리아)

📌 단계별로 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧습니다.

노드를 우선적으로 선택 최소 힙 데이터 구조를 사용합니다!

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📌 선형 탐색 과정과 기본 원리는 동일하지만

최소 힙에서는 방문 목록을 설정하지 않아도

우선순위 큐에서 검색된 값을 단순히 최단 거리 테이블과 비교하여 현재 노드의 거리 값보다

큰 경우 자동으로 무시할 수 있습니다.

(그 노드에 대해서는 이미

처리가 끝났기 때문입니다)

​

(다이스트리아 최소 힙 실장 코드)

import heapq

# sys.stdin.readline() 이란 파이썬 내장 함수로 input()을 치환하면,
# 입력 데이터 수가 많아도 빠르게 동작 가능하다.


import sys
input = sys.stdin.readline
INF = 10**9 # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = (() for i in range(n+1))
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = (INF) * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph(a).append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = ()
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance(start) = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heqpq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance(now) < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph(now):
            cost = dist + i(1)
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance(i(0)):
                distance(i(0)) = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i(0)))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance(i) == INF:
        print(“INFINITY”)
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance(i))

백준 문제:

https://www.acmicpc.net/problem/1753